Формулы для вычисления производительности труда

Разновидности трудоемкости

Выше приведены два наиболее часто встречающихся на практике вида выработки: продукции и удельная. Однако экономисты выделяют ещё несколько разновидностей трудоёмкости:

1. Технологическая трудоёмкость подразумевает оценку временных затрат всех рабочих.
2. Обслуживания — напротив, показывает сколько временных затрат пришлось на вспомогательных рабочих.
3. Производственная — является суммой значений технологической трудоемкости и обслуживания, то есть временных затрат основных и вспомогательных рабочих.
4. Управления — фиксирует время, затраченное руководителями технологического процесса.
5. Строительства объекта — частный случай трудоемкости, показывает сколько человеко-часов будет затрачено на весь процесс строительства объекта.

Линейная алгебра

1.1. Определители (детерминанты)

Обозначения определителя матрицы А: D , det A, .

Определитель второго порядка: .

Определитель третьего порядка:

Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:

Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:

-алгебраическое дополнение элемента , ,

-минор элемента , т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

1.2. Матрицы

Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов):

, где ; .

Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и .

Квадратная матрица порядка n: .

Сложение матриц: , где .

Свойства сложения матриц:

1) ассоциативность: ;

2) коммутативность: ;

Умножение матрицы на число: .

Умножение матриц: .

Свойства умножения матриц:

1. 1. ассоциативность: ;
   2. некоммутативность.
   3. определитель произведения квадратных матриц: .

Транспонирование матрицы: .

Свойство транспонирования произведения матриц: .

Невырожденная (неособая) матрица: .

Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .

Свойства обратной матрицы:

1) ;

2) .

Виды матриц:

единичная матрица:

симметрическая матрица:

ортогональная матрица: A — невырождена и

кососимметрическая матрица: ;

матрица-строка:

матрица-столбец: .

Ранг матрицы — наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

1.3. Системы линейных уравнений

— неизвестные;aij –коэффициент в i-ом уравнении при j-ом неизвестном; — свободные члены.

Матричный вид: , — матрица системы,

— столбец неизвестных,

— столбец свободных членов.

Формулы Крамера (n=m): , — определитель матрицы системы; -определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.

Однородная система (B=0):

Если , то система имеет только нулевое решение .Если , то существуют ненулевые решения.

Аналитическая геометрия

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общее уравнение прямой на плоскости	n=(A,B) — нормальный вектор прямой; ,, — координаты фиксированных точек на прямой; k — угловой коэффициент прямой; a — отрезок, отсекаемый прямой на оси х; b — отрезок, отсекаемый прямой на оси y; q=(l,m) — направляющий вектор прямой
	уравнение прямой, проходящей через данную точку
	уравнение прямой с данным угловым коэффициентом
	уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
	уравнение прямой, проходящей через две точки
	уравнение прямой в отрезках
	каноническое уравнение прямой

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:

; ,

где и -нормальный и направляющий векторы первой прямой;

и — нормальный и направляющий векторы второй прямой.

Условия параллельности двух прямых на плоскости:

1. ;
2. ;
3. , где и — угловые коэффициенты прямых.

Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:

1. n₁ n₂ n₁ n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂=0;
2. q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l_1l2+m_1m2=0;

3.1.2. Плоскость в пространстве

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общее уравнение плоскости в пространстве	— нормальный вектор плоскости; — координаты фиксированных точек на плоскости; a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат; — направляющие косинусы нормального вектора плоскости; p — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость
	уравнение плоскости, проходящей через три точки
	уравнение плоскости в отрезках
	нормальное уравнение плоскости

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:

.

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:

;

где и -нормальные векторы плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей:

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

n₁n₂n₁n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂+С₁С₂=0.

3.1.3. Прямая в пространстве

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общие уравнения прямой в пространстве	и — нормальные векторы плоскостей;- направляющий вектор прямой;,,- координаты фиксированных точек на прямой
	канонические уравнения прямой в пространстве
	параметрические уравнения прямой в пространстве
	уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:

,

где и — направляющие векторы прямых.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

.

Условие ортогональности двух прямых в пространстве:

q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0.

3.2. Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка:

.

3.2.1. Окружность

Каноническое уравнение: . Радиус окружности: a.
Параметрическое уравнение:		Уравнение в полярных координатах:
Уравнение окружности радиуса с центром в точке с координатами :

3.2.2. Эллипс

Каноническое уравнение: . Полуоси эллипса: . Фокусное расстояние: c. Фокусы: и, где .
Эксцентриситет:	, .	Параметрическое уравнение:	.

3.2.3. Гипербола

Каноническое уравнение: . Действительная полуось: a, мнимая полуось: b. Фокусное расстояние: с. Фокусы: и , где .
Эксцентриситет: ;;	Асимптоты:	Параметрическое уравнение:

3.2.4. Парабола

Каноническое уравнение: , Параметр: p. Фокус: ; директриса: .

3.3. Поверхности второго порядка

Каноническое уравнение	Наименование	Параметры	Чертеж
	сфера	a – радиус
.	эллипсоид	— полуоси
	однополостный гиперболоид	-действитель-ные полуоси, — мнимая полуось
	двуполостный гиперболоид	-действитель-ная полуось, — мнимые полуоси
	эллиптический параболоид	— полуоси
	гиперболический параболоид	— полуоси
	конус	— полуоси
	параболический цилиндр	р — параметр
	эллиптический цилиндр	— полуоси
	гиперболический цилиндр	— полуоси

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.

Параллельный перенос: ,

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

координаты нового начала координат: .

Поворот: ,

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

угол поворота: j .

Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным координатам и обратно. ;; ; ;

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам и обратно:

; ; ;

Переход от декартовых координат к сферическим координатам и обратно:

,, ;

Что такое сила?

Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел , вызывать их движение , менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.

ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;

на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;

далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.

Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.

Что такое производственная мощность предприятия

Производственная мощность – это рассчитываемое значение, показывающее объем товаров, который организация способна изготовить за установленный временной отрезок. Параметр используют для определения:

Пройдите наш авторский курс по выбору акций на фондовом рынке →

обучающий курс

• рентабельности производства;
• сроков и окупаемости;
• возможности выполнения поставленной задачи и т.д.

Плановая производственная мощность

Под плановым показателем понимается максимальная способность организации производить товары согласно установленному графику при задействовании всех доступных ресурсов. В них входят технологические процессы, имеющаяся аппаратура, персонал и финансы. 

Проектная производственная мощность предприятия

Проектный показатель, наоборот, отражает количество требующихся ресурсов для достижения заданного значения. При вычислении параметра результат отражает:

• количество необходимого оборудования;
• численность штата;
• финансовые затраты;
• количество и размеры необходимых площадей.

Производственная мощность по данным баланса производственных мощностей

Описываемый показатель – величина не постоянная. Она всегда меняется со временем. В связи с этим никогда не используется единое фиксированное значение. Существуют три параметра, которые рассчитываются на конкретную дату согласно имеющимся ресурсам:

1. Входной.
2. Выходной.
3. Усредненный.

Входная мощность

Стандартно, параметр обозначает работоспособность предприятия на 1 янв. года. В частных случаях может использоваться другая дата. Показатель позволяет составить прогноз работы организации, что позволяет составить проект по оптимизации и модернизации технологического процесса. 

Выходная мощность

Выходной показатель рассчитывается на 1 янв. года, следующего за годом, в котором рассчитывалась входная мощность. Он позволяет увидеть результаты работы, увидеть регресс или прогресс, произошедший в течение календарного года. 

Среднегодовая производственная мощность

Усредненный показатель за год показывает текущее соотношение достигнутого результата к поставленным планам. На основании параметра происходят корректировки технологического процесса, требующиеся для выполнения поставленной задачи в вопросе изготовления продукции.

Что такое производительность труда?

Прежде чем приступить к определению производительности, следует дать определение тому, что такое живой труд.

Живой труд — это такой труд, который затрачивает энергию, которая измеряется в калориях. Разделение живого труда осуществляется на две категории: это физический труд и умственный труд.

Однако вещественный труд, то есть труд произведённый в какой-либо вещи, товаре или услуге, есть уже совсем другое дело, т.к. подобный тип труда является трудом уже осуществлённым когда-то ранее.

Каждый трудящийся человек работает для того, чтобы производить те или иные блага для себя или окружающих людей: к таковым могут относится материальные продукты, или какие-то виды услуг – суть остаётся прежней.

Основную роль в оценке качества этого труда играет так называемая “производительность”, поэтому в первую очередь следует определиться и понять: для чего необходимо пытаться постоянно повышать производительность вашего труда?

ПТ является одним из основных критериев, по которым оценивают эффективность трудовой деятельности работников предприятия.

Эффективность предприятия помогают повысить и методы нормирования труда. Подробнее о них в этой статье.

Чем выше показатели ПТ, и соответственно, чем выше производство единицы произведённого товара на единицу времени, тем лучше показатели на предприятии, и, соответственно, меньше уходит расходов на единицу результата, а выручка растет.

К примеру, расходы на электричество в здании, аренду помещения для производства и другие сопутствующие издержки. И само собой повышение коэффициента производительности труда должно снизить показатели расходов на какой-то процент.

Рабочие, как и руководство, заинтересованы в повышении производительности труда, так как с уменьшением ежемесячных расходов на трудовой процесс может вырасти зарплата сотрудников.

Измеряя уровень выполненной трудовой деятельности работников используют показатель производительности труда (ПТ).

Сама по себе ПТ – это показатель, отражающий общую результативность какой-либо трудовой активности, выводящий данные по результативности производства деятельности по производству каких-либо продуктов в течение конкретного промежутка времени, после расчёта которого мы получаем полную картину плодотворности работников за данный временной промежуток (это может быть полный год, месяц, сутки, одна смена, часы, минуты и т.п.).

Также следует принять во внимание такой термин как “выработка”. Данным определением называют кол-во труда, которое произвёл один рабочий

При помощи данного показателя измеряются самые разнообразные виды трудовой деятельности: это может быть и производство материальных благ, и предоставление услуг, и реализация благ.

Формула ПТ заключается в следующем: объем произведённой трудовой деятельности за некий временной промежуток нужно разделить на количество работников.

Как определить производительность труда:

П=О/Ч

П здесь означает производительность труда, О – это объем работы за какой-то конкретный временной промежуток, и Ч – это число работников соответственно.

Также зачастую применяется не только показатель производительности труда, но обыкновенный показатель производительности. При выводе данного показателя рассчитывается, кроме трудовых затрат, и другие типы ресурсов: оборотный капитал, основной капитал, земля.

Данный показатель характеризует средний объём продукции на единицу всех затраченных при производстве и реализации ресурсов. Выработка произведённого в ед. потраченного труда считается самым универсальным и наиболее подходящим под большинство ситуации показателем.

Посмотрите видео о производительности труда в России:

https://youtube.com/watch?v=lu1SSq3qKSc

Что такое мощность в электричестве: просто о сложном

Вспомнилась былина об Илье Муромце, когда он приложил всю свою мощь к соловью разбойнику. У бедолаги сразу посыпались искры из глаз, как пламя с верхней картинки на проводке с неправильным монтажом.

Простыми словами: мощность в электричестве — это силовая характеристика энергии, которой оценивают, как способности генераторных установок ее вырабатывать, так возможности потребителей и транспортных магистралей.

Все эти участки должны быть точно смонтированы и налажены для обеспечения безопасной работы. Как только в любом месте возникает неисправность, так сразу развивается авария во всей схеме.

Если говорить о домашнем электрическом оборудовании, то приходится постоянно соблюдать баланс между:

1. включенными в сеть приборами;
2. конструкцией проводов и кабелей;
3. настройкой защитных устройств.

Только комплексное решение этих трех вопросов может обеспечить безопасность проводки и жильцов.

Как рассчитать электрическую мощность в быту

Формулы расчета мощности в электричестве позволяют выполнить качественную оценку безопасности каждого из перечисленных выше пунктов.

Пользоваться ими не сложно. Я уже приводил в предыдущих статьях шпаргалку электрика, где они помещены в наглядной форме для цепей постоянного тока.

Они полностью справедливы для активной составляющей мощности переменного тока, совершающей полезную работу. Кстати, кроме нее есть еще и бесполезная — реактивная, связанная с потерями энергии. Ее описанию посвящен второй раздел.

Такие вычисления удобно делать с помощью онлайн калькулятора. Он избавляет от рутинных математических вычислений и арифметических ошибок.

При любом из способов для расчета активной мощности требуется знать две из трех электрических величин:

1. силу тока I;
2. приложенное напряжение U;
3. сопротивление участка цепи R.

Как измерить электрическую мощность дома

Существует еще одна возможность оценки активной мощности: ее измерение в действующей схеме специальными приборами: ваттметрами.

Точные замеры может обеспечить промышленный лабораторный ваттметер. Он изготавливается как прибор, работающий на аналоговых сигналах,так и с помощью цифровых технологий.

В бытовой проводке точные вычисления не нужны. Для нее выпускаются различные виды более простых ваттметров.

Популярностью пользуются приборы, которые можно вставить в розетку и подключить к ним шнур питания от потребителя, включить их в работу и сразу снять показания на дисплее в ваттах.

Их так и называют: ваттметр розетка. Они измеряют чисто активную мощность переменного тока.

Такие приборы избавляют электрика от выполнения сложных операций под напряжением, когда требуется замерять:

• действующее напряжение;
• силу тока;
• угол сдвига фаз между векторами тока и напряжения.

Потом все данные дополнительно требуется вводить в формулу расчета мощности по току и напряжению, делать по ней вычисления.

Этот метод можно упростить, если внимательно наблюдать за показаниями электрического счетчика индукционной системы с вращающимся диском. Он считает совершенную работу: потребленную мощность за определенную время.

Однако скорость вращения диска как раз и характеризует величину потребления. Надо просто посчитать сколько раз он обернется за минуту и перевести в ватты по табличке, расположенной на корпусе.

Интегральное исчисление

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где — произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. 1. Производная неопределенного интеграла: .
   2. Дифференциал неопределенного интеграла: .
   3. Неопределенный интеграл от дифференциала: .

Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций:;

4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:;

4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

7.1.2. Основные методы интегрирования

1. 1. использование свойств неопределенного интеграла;
   2. подведение под знак дифференциала;
   3. метод замены переменной:

а) замена в интеграле :

где — функция, интегрируемая легче, чем исходная; — функция, обратная функции ; — первообразная функции ;

б) замена в интеграле вида :

;

1. 1. метод интегрирования по частям: .

7.1.3. Таблица интегралов

1. Степенная функция

частные случаи

,

2. Показательная функция частный случай

3. Рациональные функции

4. Иррациональные функции

5. Тригонометрические функции

6. Содержит тригонометрические функции

7.2. Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

, где

Свойства определенного интеграла

1. 1. Интеграл от суммы или разности двух функций: .

Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:

.

• Свойство аддитивности: .
• Неотрицательность интеграла: если ,, то .
• Сохранение неравенства: если и , то .
• Теорема о среднем: , где , — непрерывна на .
• Формула Ньютона-Лейбница: , где — первообразная для .
• Интегрирование по частям: .
• Замена переменной:

а)

, где , , и непрерывна на , а непрерывна и монотонна на

б) , где u=j (x), c=j (a), d=j (b).

7.2.2. Приложения определенного интеграла

Характеристика	Вид функции	Формула
площадь криволинейной трапеции	в декартовых координатах
площадь криволинейного сектора	в полярных координатах
площадь криволинейной трапеции	в параметрической форме
длина дуги кривой	в декартовых координатах
длина дуги кривой	в полярных координатах
длина дуги кривой	в параметрической форме
объём тела вращения	в декартовых координатах
объём тела с заданным поперечным сечением

Немного терминологии

На практике используется шесть видов численности работников, которые отличаются методами исчисления и способами отражения в отчетности:

• нормативная — устанавливается трудовыми нормами и объемом работ к выполнению (идеальное значение);
• плановая — зависит от вида деятельности, размера предприятия, объема производства, наличия вакантных рабочих мест и других факторов (реалистичнее нормативной — определяется по данным конкретного предприятия);
• среднесписочная — среднее число сотрудников организации за отчетный период, не считая внешних совместителей и тех, кто работает по договорам подряда;
• фактическая — величина работников предприятия на определенную дату;
• штатная — сотрудники, которых руководитель утвердил в штатном расписании компании (без учета сезонных работников);
• явочная — персонал организации, находящийся на рабочем месте.

Понятие штатной численности не закреплено законом. Оно используется в кадровом деле и означает сотрудников, которые нужны предприятию для успешной работы и выполнения планов.

Как правильно рассчитать производительность труда

Формула расчета производительности труда выглядит следующим образом:

ПТ = О / Ч

,где О – объем работы за единицу времени, ПТ – производительность труда и Ч – число сотрудников.

Чтобы правильно рассчитать производительность труда необходимо руководствоваться следующими правилами:

• Перед проведением расчетов определиться с показателями, по которым будет проведен расчет: выработки продукции или трудоемкости.
• Выбрать методику, по которой будет рассчитан объем производительности труда: трудовую, натуральную или стоимостную. Натуральный метод используется для подсчета точного объема выработки и произведенной продукции (в количестве, массе, кубических или квадратных метрах).

Примеры расчета производительности труда

Рассмотрим следующие примеры:

1. Компания, в которой работает 50 рабочих, за месяц произвела 50 000 гвоздей. Выработка одного работника составит: 1000 штук гвоздей/человек (50 000 делим на 50).
2. Предприятие, в котором работает 50 рабочих, выпускает за неделю около 30 000 оконных рам. При таких условиях выработка будет подсчитываться следующим образом: 30 000/50 = 600 оконных рам (за неделю производит один рабочий).

При трудовой методике количество продукции определяют в нормо-часах, она не подходит для среднего или малого бизнеса, используется преимущественно крупными компаниями. Например, токарь вытачивает 0,5 втулки за минуту своей смены. В стоимостной методике за основу принимаются ценностные выражения.

Приведем пример: две фабрики за один день производят продукции на 1 000 000 рублей. В одной фабрике работает 10 человек, в другой – 40. Подсчет: 1 000 000/50 = 20 000 рублей (один сотрудник фабрики производит продукции на эту сумму).

При проведении расчетов учитывать то, что объем производительности труда – это переменчивая величина, которая зависит не только от работников, но и от руководителя (владельца) компании: чем лучше условия труда на предприятии, тем выше и надежнее будет мотивация сотрудников и их производительность труда.

Правильно рассчитать производительность труда по предприятию очень важно, так как от этого показателя зависит график работы и штатное расписание сотрудников, а также себестоимость продукции (услуг), издержки на ее производство и конечная прибыль компании

Формула расчета производительности труда

На основании расчета показателей результативности функционирования работников на предприятии рассчитывается индекс производительности труда.

Этот показатель отражает темп роста производительности и находится следующим образом:

по выработке: ΔПТ= [(Во — Вб)/Вб]*100%

по трудоемкости: ΔПТ=[(Тро — Трб)/Трб]*100%

• где Во – выработка продукции в отчетном периоде;
• Вб – выработка продукции в базисном периоде;
• Тро – трудоемкость продукции в отчетном периоде;
• Трб – трудоемкость продукции в базисном периоде;
• ПТ — индекс производительности труда в процентах.

Изменение производительности можно найти через планируемую экономию численности персонала по следующей формуле:

ΔПТ=[Эч/(Чр-Эч)]*100%,

• где Эч – планируемая экономия численности персонала;
• Чр – численности рабочих (сотрудников, занятых в производственном процессе).

Показатель средней производительности труда необходим в случае большого числа производимых изделий с разной трудоемкостью.

Формула расчета средней производительности труда:

Вср=ΣQi*Ki,

• где Вср – средняя производительность труда;
• Qi– объем каждого вида произведенной продукции;
• Ki– коэффициент трудоемкости каждого вида произведенной продукции.

Для определения данного коэффициента выделяется позиция с минимальной трудоемкостью. Она приравнивается к единице.

Для нахождения коэффициентов по другим видам продукции трудоемкость каждого делится на показатель минимальной трудоемкости.

Для расчета производительности труда одного работника используется следующая формула:

ПТ = (Q*(1 – Кп)) / Т1.

Для расчета показателей производительности труда используются данные баланса предприятия, в частности, объем произведенной продукции. Этот показатель отражен во втором разделе документации в строке 2130.

Формула расчета производительности труда по балансу выглядит следующим образом:

ПТ = (строка 2130*(1 – Кп)) / (Т1*Ч).